课程思政教学案例---张俊超：线性代数B2

本次课程目标：        

1.初等变换的概念，性质；      

2.初等变换求逆矩阵。        

思政育人目标：        

1. 介绍疫情期间救援物资的配送问题，培养学生一方有难、八方支援的团结一致的精神。      

2. 介绍重要的数学著作《九章算术》，它是世界上最早记录完整的线性方程组的解法的著作，以此增强学生爱国情感和民族自豪感，进而奋发学习。        

（500字以上，图文并茂）        

一、实施过程        

1.课程回顾       

引导学生温故矩阵的数乘运算和乘法运算。           

2.问题提出        

疫情期间，湖北省三市急需物资支援，其中孝感40吨，武汉211吨，黄冈80吨，根据实际情况，河南、河北、湖南、广东一次可运送物资如下.      

尝试设计一种运输方案，给三市配送物资      

介绍疫情期间救援物资的配送问题，培养学生一方有难、八方支援的团结一致的精神。      

介绍重要的数学著作《九章算术》.全书采用问题集的形式，共246个问题，分成九章，其中书中的第八章“方程”采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵，解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致.        

3.新知识点讲解及问题解决方案        

定义：如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A、B等价.      

矩阵等价关系满足以下性质：      

1.反身性，A~A；      

2.对称性，若A~B则B~A；      

3.传递性，若A~B，B~C则A~C      

l 满足以上三个性质的关系称为等价.      

l 两个线性方程组同解则称它们等价.      

行阶梯形矩阵定义：  行阶梯形矩阵      

                           称为行阶梯形矩阵        

特点：      

l 可画一条阶梯线，线下方元素全是0；      

l 每个台阶只有一行，台阶数即非零行的行数；      

l 阶梯线竖线后面第一个元素为非零元      

            称为行最简形矩阵      

特点：      

在行阶梯形的基础上，每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列其余元素为0。      

            称为标准形矩阵        

特点：      

左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.      

一般标准形矩阵：矩阵A经过初等变换总可以化为这种             标准形；该标准形由 m、n、r 完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。所有与A等价的矩阵组成的一个集合，成为一个等价类。标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵。      

例1  设             化成最简形。      

解                                            

即为矩阵             的最简形。      

定义2  由单位矩阵E经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。      

三种初等变换对应着三种初等矩阵。      

1．对调两行或对调两列      

用             其结果相当于对             施行第一种初等行变换；      

用             其结果相当于对             施行第一种初等列变换。        

2．以数k≠0乘某行或某列        

用             其结果相当于对             施行第二种初等行变换；      

用             其结果相当于对             施行第二种初等列变换。      

用             其结果相当于对             施行第三种初等行变换；      

用             其结果相当于对             施行第三种初等行变换。      

定理4  设A 是一个m×n矩阵，对矩阵 A 施行一次初等行变换，相当于以相应的m阶初等矩阵左乘 A；对矩阵 A 施行一次初等列变换，相当于以相应的n阶初等矩阵右乘 A。      

一般的有：      

①初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.      

②初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵。      

定理2  设 A 为 n 阶矩阵, 则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P₁ , P₂ , … , P_k ，使 A = P₁P₂  … P_k .      

推论1  方阵A可逆的充分必要条件是A               E。        

推论2  m×n矩阵A ～ B ( A 与 B 等价)的充要条件是存在m阶可逆矩矩阵 P 和n阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B 。        

例2                   [             ]      

2）初等变换解线性方程组                  

例3  设                  

求线性方程组             的解。      

解  线性方程组             都有唯一解，依次为                  

2）初等变换解矩阵方程                  

二、取得成效        

新冠疫情席卷整过中国，武汉成为疫情中心，全国上下一心，全力支持武汉抗击新冠疫情，由物资配送的问题引出矩阵的初等变换，让学生意识到民族危难之时，国人互助友爱的精神和团结一致战胜疫情的决心，对抗疫物资的分配问题，更显现出单纯的线性代数基础理论应用于实际问题的典型案例，从而在感知抗疫精神的同时，有进一步激发学生学习基本理论，为日后解决实际问题的信心。矩阵的初等变换中引入《九章算术》，让学生了解到灿烂的中华古代文明，文明决定社会的进步和国家的强弱状况，让学生认识的近现代中国落后的原因，以及现今的中国所面对的复杂国内、国际局势，从而为民族的复兴不懈求知。      

三、教学反思        

实际问题的引入确实能激起学生学习知识的兴趣，在一定程度上有利于学生对知识的求知欲，但学生对抽象问题的理解还存在很大的不足，需要在课堂学习之外投入更多时间，譬如提前预习，课下练习，结合网络资源加强对所学知识的深入感知，应会达到更好的学习效果。针对性的作业布置和辅助性的网络资源，以及经常性的师生间交流和沟通，将有助于师生增进情谊，突破学习障碍，教与学相长。      

本次课程目标：        

克拉默法则的理论意义，行列式计算。会利用克拉默法则判定解线性方程组解的情况。        

思政育人目标：        

学习克拉默，专心治学，平易近人且德高重，先后当选为伦敦敦煌家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。以正确的观点引导学生思考专业问题，形成并树立正确的人生观、世界观与价值观。      

（500字以上，图文并茂）        

一、实施过程        

（1）介绍瑞士数学家克拉默的专心治学。（5分钟）        

（2）复习n元线性方程组的一般形式和系数行列式。（5分钟）      

（3）与学生探讨讲解Cramer 法则内容和应用范围。（15分钟）        

（4）应用Cramer 法则求解n元线性方程组的唯一解。让学生做一些应用Cramer 法则的练习题。（15分钟）        

（4）与学生归纳和总结克莱姆法则的主要优点在于： 它给出了方程组的解与方程组的系数及常数项的关系的公式，所以它在理论上是重要的。以及克莱姆法则的应用范围。（5分钟）        

二、取得成效：        

研究线性代数这门专业基础课中如何进行思政教育，不仅迎合党的十九大精神，习近平总书记关于教育的重要论述，也是社会主义办学方向的目的要求。关键在于如何有力有效落实，所以有必要研究利用不同教学平台，通过教学重构，个性化教学，提升教学质量中完善思想政治教育，全面提升学生创新能力，思想政治觉悟等综合素质，使学生将来成为在社会上不仅有就业能力，创新能力，未来职业发展潜力，而且有正确的国家观、民族观、历史观、文化观，有民族责任感的社会主义接班人。        

思政建设为导向，重新梳理教师角色与作用，创新课堂教学模式，激发教师的教学热情和课堂活力。实现教学重构与个性化教学，在教学实践中落实思政教育，提升道德品质等核心素养。基于思政实现课程改革，培养学生政治素养和业务能力满足新时代的要求，引领和促进教师的教学能力发展。        

研究思政环境下教学重构，个性化教学与教师能力、角色定位及其内涵关系。研究新的教学手段，多种教学方式，在党的十九大对教育的新要求指引下，探索思政环境下教学模式、教学方法与教学策略。        

三、教学反思课程：思政是实现教育全程育人、全方位育人的必然选择，充分利用课程教学主渠道，将思想政治工作的内容和方法融入教学中，让学科内容更丰富、让课堂氛围更和谐、让思政教育更有力度，让传授知识更有价值。本案例旨在形成科学完善的数学公共课思政教育理论体系，具有理论意义和社会价值。        

本次课程目标：学会用行最简阵解线性方程组        

思政育人目标：知识不是”学习“的，是一直就存在于思维中的，教师只是引导者，帮助学生回忆起来。        

（500字以上，图文并茂）        

一、实施过程        

1.课前预习测验（学习通上完成）        

（掌握学生回答情况，教学过程中解决前测中存在的问题）      

2.介绍线性方程组的概念及其矩阵表示形式      

3. 提问：增广矩阵             表示什么样的线性方程组，解是什么。（结论：唯一解）      

（有问题及时纠正）      

4. 给出行最简阵的定义
行最简阵:每行的第一个非零元1的上方和下方都是零的矩阵。      

    这时，再解答前测中出现的问题，前测中的第1、3两个矩阵都是行最简阵，提示学生不能先入为主地以为第一行的非零元恰好位于第一列，第二行的非零元恰好位于第二列。。。要准确理解和掌握行最简阵的定义。      

5. 再提问：增广矩阵             表示什么样的线性方程组，解是什么。（结论：无穷解）      

追问：为什么前一个矩阵的解能看出来，后一个矩阵的解看不出来呢？
这个追问有思政体现：帮助学生思考，让他们了解并懂得“知识不是”学习“的，是一直就存在于他们的思维之中，老师帮助引导，就会让学生回忆起来。”从而建立他们学习的信心和积极性，同时努力把“存在”于思维中的知识挖掘出来。      

6. 通过例1的讲解，让学生掌握用最简阵求解线性方程组的三个步骤，即求行最简阵、求基础解和特解、求出通解。      

7. 课中测验练习（以小组形式上传，互相批阅且可在线上提问，教师参与其中并及时回答学生提出的问题）      

8. 微信群中截图提问答疑（没有问题的同学做线下作业）      

二、取得成效        

思政体现：帮助学生思考，让他们了解并懂得“知识不是”学习“的，是一直就存在于他们的思维之中，老师帮助引导，就会让学生回忆起来。”从而建立他们学习的信心和积极性，同时努力把“存在”于思维中的知识挖掘出来。      

以互助小组的形式让学生进行积极思考和讨论，通过随机点名让学生代表小组回答。      

激发学生的兴致去挖掘自己思维中已经存在的知识，同时提升合作探讨问题的能力。      

三、教学反思        

学生的预习实施不好，以后在教学中，努力在如何让学生乐于学数学上多下功夫，让学生能够通过学习营养到并提升自己的思维能力，学会挖掘出已经存在于自己思维中的知识。        

课程名称        

线性代数A1      

本次课程目标：        

1、正确解释矩阵秩的定义      

2、会求矩阵的秩      

3、会判断线性方程组解的情况      

思政育人目标：        

通过对矩阵秩的学习，使学生感悟“化繁为简”的思想，提高学生探寻事物本质的意识，教导学生不要只看事物的表面而要看本质，培养学生持续深究的精神，使得学生树立科学的价值观。        

（500字以上，图文并茂）        

一、实施过程        

一、课程回顾（3分钟）        

线性方程组的系数矩阵通过初等变换可以化为行阶梯形矩阵        

二、问题提出（2分钟）        

矩阵化为行阶梯形矩阵后所含的非零行的行数r与（      ）有关        

三、新知识点讲解与练习 （80分钟）        

定义4.2.1  在一个S行t列矩阵中，任取K列（K≤S，K≤T〉。位于这些行列交点处的元素所构成的行列式叫作这个矩阵的一个K阶子式。      

练习1写出下列矩阵的3阶子式及其3阶子式的个数.      

定义4.2.2 一个矩阵中不等于零的子式是最大阶数叫作这个矩阵的秩，记作 秩A或R(A)。      

若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零。      

例1：求矩阵 A 和 B 的秩，其中                                          

定理4.2.1     初等变换不改变矩阵的秩。      

证明思路：       1、经过初等变换变为 B，则 R(B)≤R(A) ．       2、也可经由初等变换变为 A，则 R(A)≤R(B)，       矩阵的秩的求法：用初等变换将矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．       例2：求矩阵 A 的秩.                          

练习 ：      

            问k为何值时，可使（1）R(A)=1   (2) R(A)=2  （3）R(A)=3         

定理4.2.2   （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。      

例4  判断方程组是否有解.                          

定理4.2.3     设线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r.那么当r等于方程组所含未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r<n时，方程组有无穷多解.      

例5             取怎样的数值时，线性方程组有唯一解.      

练习2       若线性方程组有无穷多解，求参数             ，并求解.      

四、归纳总结（3分钟）      

五、布置作业及思考题（2分钟）      

1、已知平面上三条不同直线的方程分别为        

若这三条直线交于一点，证明：                        

2、利用本节知识探讨三个平面交于一点，一条直线，重合的条件。        

二、取得成效      

1、通过随机提问和全班问卷方式相结合，有90%的学生能正确解释矩阵秩的定义，剩余学生能通过举例说明，准确地描述矩阵秩的定义。      

2、通过随堂练习方式对学生进行考核，有95%学生能准确的求出矩阵的秩，有5% 由于计算错误得出错误结果，但是会求矩阵的秩。      

3、通过随堂练习方式对学生进行考核，所有学生会能利用定理判断线性方程组解的情况，其中有90%的学生能一次性准确的完成考核，剩余的学生能通过自己的检查回验找出错误的原因并进行准确的改正。      

4、通过习题的考核，85%的学生能够准确并严谨的书写解决过程，15%的学生能主动的寻找错误的原因并进行改正，培养了学生科学严谨的思维习惯。      

三、教学反思        

1、问题的提出方式还需要更多样化，未来教学中将尝试更多的情景倒导入法，使得 学生有更多地参与感。      

2、在对习题讲解时，可以更多地依靠学生讲解，将课堂的主动权交给学生，培养学生勇于表达自己观点的习惯。