课程思政教学案例---徐雪：高等数学

课程名称        

高等数学        

本次课程目标：重点加强同学们的学习动机和厘清学习方法。        

思政育人目标：数学强国、数学的重要性，使学生从内心认同学习数学的重要作用，从而端正学习态度，达到良好的学习效果。        

（500字以上，图文并茂）        

一、实施过程        

1、为何学        

古往今来，无数科学大家赞美数学，数学是他们研究的基石，思考的脉络，甚至是灵感的来源。这里列举了几个名人说的话：英国的哲学家罗杰⋅培根说：数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。
    黑格尔说：数学是上帝描述自然的符号。
恩格斯说：要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。        

你看两位哲学家的观点一致，为什么必须掌握数学才能辩证而又唯物地了解自然呢，因为数学是上帝描述自然的符号，你只有掌握这种语言符号，才能进一步了解自然。        

所以，作为“计算机之父”（同时也是数学家）的冯诺依曼说：数学处于人类智慧的中心领域。所以我们要掌握好数学，从而对其他边缘领域“降维打击”。        

历史证明，数学实力往往影响着国家实力，世界强国，必然是数学强国。数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求。        

17-19世纪英国、德国、法国，既是欧洲的强国，也是数学强国。英国数学家牛顿、德国数学家莱布尼茨发明了微积分，法国数学家拉格朗日、柯西等丰富和完善了微积分，解决了许多力学、天体学、几何学上的难题。
    19世纪，俄罗斯数学开始崛起，到了20世纪，苏联成为世界上数学强国之一，特别是1958年苏联成功发射了第一颗人造地球卫星，轰动了全世界，当时美国总统肯尼迪了解到苏联成功发射卫星的原因之一，是苏联在卫星发射相关的数学领域处于世界领先地位，此外苏联重视数学教育，为基础科学研究提供了雄厚的研究基础。于是肯尼迪下令大力发展数学。
    二战以后，美国逐渐从数学落后的状态发展成今天的数学超级大国。得益于对数学的重视，二战前，德国纳粹排斥犹太人，大批欧洲犹太籍数学家（当然也有其他国籍的数学家）移居美国，使得美国迅速成为一个数学强国，尤其是原子弹的研发，为美国打胜二战、提升战后经济实力做了巨大贡献，后来苏联解体、东欧解体后，美国又抓紧时机吸纳了其中大批优秀数学家，足以看出，数学学科的战略地位。        

再举一个数学重要的例子。跟着我看一看数学跟国防的关系。这里给大家介绍三个人——冯.诺依曼、乌拉姆、图灵。这三个人都是二战时期为盟军做出重要贡献的数学家。        

第一位是20世纪顶级数学家——冯.诺依曼，也是第一台电子计算机程序和存储的研制构思者。他对美国原子弹的制造做了两大贡献：一是为找到用快速计算机去模拟计算原子弹的爆炸过程和爆炸威力的“数学化”途径做出重要贡献；另外就是研究爆聚炸弹，就是把一些炸弹、原子弹捆绑起来发出更大的威力。
    第二位是美籍波兰裔数学家——乌拉姆。他从欧洲逃到美国后参加了曼哈顿计划。为了模拟核实验，他发明了蒙特卡罗计算方法。最先成功的氢弹构型叫做泰勒-乌拉姆构型，就是由乌拉姆和美籍匈牙利裔物理学家爱德华.泰勒提出的。其中，泰勒是杨振宁的博士导师。
    第三位是英国数学家——图灵。了解一些人工智能的同学们一定不会陌生他——图灵被誉为“人工智能之父”，以他名字命名的“图灵奖”被誉为“计算机界的诺贝尔奖”，他被评为20世纪100个最重要的人物之一。二战中，他与一些优秀数学家一起，最终破译了德军所用的密码体制，做出巨大贡献，获得英国皇室授予为国家和人民做出巨大贡献者的最高荣誉勋章——“不列颠帝国勋章”。        

上面这三位数学家，仅仅是二战中大量数学家的缩影。在未来战争中，数学的作用将更为突出，以往拼刺刀式、靠个人蛮力式的场面将越来越少，更多的是利用信息化技术、先进的武器装备、信息决策系统和战术战法。        

2、学什么        

前面，我重点讲了为什么要学好高等数学，我认为，如果你认同其重要性，树立积极的学习态度，那么后面学什么、怎么学、怎么考将都不再是问题。因为，我们学习的不是数学专业生的数学，而是更加侧重知识的应用、计算和内涵理解。可能在座的有文科生，会觉得自己学习高数有难度。实话讲，高数的学习是有难度的，里面涉及到的定义、定理通常不是那么好理解，但是，它的难度还不足以区分文理。也就是说，这是一门有点难度、需要你端正学习态度就能学好的课程，还没有难到文科生无法掌握或学不好的程度。        

第二个方面，高等数学课程的内容。从这张图中，大家可以看出，高等数学包括六个模块：空间解析几何与向量代数、函数的极限与连续性、微分学及其应用、积分学及其应用、无穷级数、微分方程。                        

高等数学主要研究的对象是函数，空间解析几何与向量代数将函数由熟悉的一元引向多元，微分学和积分学是重点部分，研究函数的微分学性质和积分学性质，微积分的理论基础是极限理论，无穷级数和微分方程是在微积分知识的基础上，研究级数、研究函数与其导函数关系。        

其中部分内容大家在高中阶段已经接触，比如数列、空间向量与立体几何导数及其应用、定积分与微分基本定理等等，这些内容在高等数学中，更为系统，你将在其中发现它们的全貌和数学之美。        

3、怎么学        

人类的学习具有明显的个体差异性，但是同样也存在突出的规律性！这里把我总结的高等数学学习方法跟大家交流一下，可以总结为：一个方法论、两个基本要素和若干实施策略。三者的重要程度依次下降，其中方法论、基本要素决定了你学习高数达到境界，起到方向指引作用，若干具体的实施策略可以根据自己的实际情况选择性调整。        

首先一个方法论是：内外兼修，阴阳相辅。它符合中国传统哲学的观点，好比修炼绝世武功，内功、外功修炼缺一不可。我们学习高等数学，也要修炼好内、外功。两个基本要素，第一个要素是：态度；第二个要素是：在勤奋的基础上独立思考。                        

二、取得成效        

参加建模竞赛：数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。当需要从定量的角度分析一个实际问题时，人们就要在深入研究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。通过训练和参赛，提升学习能力、反思能力、团队协作能力、文字表达能力等多方面能力，强调数学素养的培育对未来职业发展的促进作用。
    全国大学生数学竞赛：为了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台，举办全国大学生数学竞赛。        

三、教学反思        

一位学者曾说过，要想把课上好，教师需要对所要讲授的内容有深刻的理解，不仅仅懂所讲的知识，还需懂比知识更多的东西，这就是知识背后的思想方法，否则课堂将缺少鲜活的灵魂。要展现课堂鲜活的灵魂，将冰冷的知识变成充满思想的火热思考，需要教师具备相当的学养和眼界。学养和眼界从何而来？来自教师坚持不懈地总结积累和对相关前沿学科的深入研究。我在这方面做的还是相差甚远。同时，又把相关的《常微分方程》《实变函数》《泛函分析》课程重新自学了一遍，弥补了自身很多欠账。这对提升我对《高等数学》知识的理解有了很大帮助，但距离把课上好的目标还有很多需要提升的地方。        

课程名称        

函数        

本次课程目标：主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、.理解复合函数，反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形。        

思政育人目标：李善兰的翻译工作是很有独创性的，许多重要的中文数学名词术语，“代数”“函数”“方程式”“微分”“积分”“级数”“植物”“细胞”等都是他创造的。他匠心独具地选用的这些中文的科学名词，不仅意思贴切，很容易理解，而且又是雅而不俗。这些名词不仅在中国流传，而且东渡日本，沿用至今。李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。        

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实施过程        

本次分享的教学案例是第一章函数与极限的第一节函数，这是高等数学的第一次课，在本门课程中起着重要的作用。本节课包括五部分内容：函数的概念、函数的四种特性(有界性、单调性、奇偶性、周期性)、复合函数与反函数、函数的四则运算及初等函数。下面从三个方面进行总结。        

一、学情分析        

本节有一部分内容中学学过，有一部分内容中学没学过，但教材默认中学学过。因此在进行教学设计之前，我结合往年教学过程中学生的反馈情况对学情、教学重点和教学方法进行分析，尽量做到教学内容完整，详略得到，思路清晰，让学生参与其中、有所收获。对中学学过的内容复习总结到位、举例恰当有代表性，对中学没有学过的内容重点讲解，分析透彻。学情分析简要情况如表1所示。        

课程名称        

高等数学        

本次课程目标：理解函数导数的概念与极值、最值的概念；理解导数的几何意义。在原有知识的基础上构建新的知识结构，实现导数的应用。        

思政育人目标： 结合实际问题中的思政融入点，培养学生的爱国情怀、社会责任感；体验数学与生活的联系，体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想方法，提高数学学习的兴趣，教育学生要有科学探索、勇于钻研奋进的精神；培养学生的数学情感、端正学习态度和树立正确的数学价值观；树立正确人生导向，正确的世界观和价值观，树立远大的理想，未来才能成为对社会有用的人。        

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一、实施过程        

1、极值的定义:         

定义  设函数f (x)在区间 (a, b) 内有定义, x₀Î(a, b). 如果在x₀的某一去心邻域内        

有f (x)< f (x₀), 则称f (x₀)是函数 f (x)的一个极大值; 如果在x₀的某一去心邻域内        

有f (x) >  f (x₀), 则称f (x₀)是函数f (x)的一个极小值.        

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f (x₀)是函数f (x)的一个极大值, , f (x₀)不一定是最大值. 关于极小值也类似.        

    定理1 (必要条件) 设函数f (x)在点x₀ 处可导, 且在x₀ 处取得极值, 那么这函数在        

x₀ 处的导数为零, 即f &cent;(x₀)=0.         

证明:  见书        

 驻点: 使导数为零的点 (即方程f &cent;(x) = 0的实根) 叫函数f (x)的驻点. 定理１就是说: 可导函数f (x)的极值点必定是函数的驻点. 但反过来, 函数f (x)的驻点却不一定是极值点.         

考察函数f (x)=x³在x=0处的情况.         

    定理２(第一种充分条件) 设函数f (x) 在含x₀的区间 (a, b) 内连续, 在 (a, x₀)        

及(x₀, b)内可导.         

 (1) 如果在(a, x₀) 内f &cent;(x)>0, 在(x₀, b)内f &cent;(x)<0, 那么函数f (x)在x₀处取得极大值;         

 (2) 如果在(a, x₀) 内f &cent;(x)<0, 在(x₀, b)内f &cent;(x)>0, 那么函数f (x)在x₀处取得极小值;          

 (3) 如果在(a, x₀) 及(x₀, b)内 f &cent;(x)的符号相同, 那么函数f (x)在x₀处没有极值.         

二.  确定极值点和极值的步骤:         

(1) 求出导数f &cent;(x);         

(2) 求出f (x)的全部驻点和不可导点;         

(3) 列表判断 (考察f &cent;(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);         

(4) 确定出函数的所有极值点和极值.         

 例1  求函数                 的极值.         

 解：见书        

定理3 (第二种充分条件)  设函数f(x)在点x₀处具有二阶导数且f &cent;(x₀)=0,         

f &cent;&cent;(x₀)&sup1;0, 那么        

    (1) 当f &cent;&cent;(x₀)<0时, 函数f (x)在x₀处取得极大值;         

    (2) 当f &cent;&cent;(x₀)>0时, 函数f (x)在x₀处取得极小值;         

证明  见书        

定理3表明, 如果函数f(x)在驻点x₀处的二导数f &cent;&cent;(x₀) >0, 那么该点x₀一定是极值点, 并且可以按二阶导数f &cent;&cent;(x₀)的符来判定f (x₀)是极大值还是极小值. 但如果        

f &cent;&cent;(x₀)=0, 定理3就不能应用.         

    例2  讨论: 函数f (x)=-x⁴, g(x)=x³在点x=0是否有极值？        

解     f &cent;(x)=4x ³,  f &cent;(0)=0;  f &cent;&cent;(x)=12x²,  f &cent;&cent;(0)=0.         

但当x< 0时f &cent;(x)< 0, 当x > 0时f &cent;(x)>0,         

所以f (0) 为极小值.        

        g &cent;(x)=3x²,  g &cent;(0)=0;  g &cent;&cent;(x)=6x,  g &cent;&cent;(0)=0. 但g(0)        

不是极值．        

    例3  求函数f (x) = (x²-1)³+1的极值.         

解  (1) .f &cent;(x)=6x(x²-1)².         

        (2) .令f &cent;(x)=0, 求得驻点x₁=-1, x₂=0, x₃=1.         

        (3) .f &cent;&cent;(x)=6(x²-1)(5x²-1).         

        (4) .因f &cent;&cent;(0)=6>0, 所以f (x) 在x=0处取得极小值, 极小值为f (0)=0.         

        (5) .因f &cent;&cent;(-1)=f &cent;&cent;(1)=0, 用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内f &cent;(x)<0,         

所以f (x) 在-1处没有极值; 同理, f (x)在1处也没有极值.         

二、取得成效        

学生形成 “爱数学，学数学，做数学” 的良好风气。        

学生对相关数学史有了深入了解，形成科学的历史观，激发强烈的民族自豪感，增强祖国科技振兴的信心。        

思政引导形象具体，学生对专业知识有了透彻的认识，印象十分深刻，极大促进专业知识的学习。        

学生铭记“养小德才能成大德”，凡事要从平时的一点一滴做好，也坚定了在疫情封闭状态下刻苦学习的信念。        

通过教学知识的深入化和割圆术的介绍，学生加深了数学的应用能力，学习兴趣大增。        

三、教学反思        

高等数学作为一门通识课，课时多，战线长，覆盖面广，学生和教师都极其重视。教师应当充分把握机会，以教学内容为载体，适时融入德育元素，浑然天成，给学生传播正能量，使学生在学到知识的同时，树立正确的人生观、世界观、价值观，心灵得以升华。培育的载体是教学内容，育德的途径是以渗透为主，随风潜入夜，润物细无声，德育与知识教学融于一体，立足知识，借助数学史、典故、优秀的数学家等，引经据典、循循善诱。        

数学也是一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学语言的简洁、规范、深远和标准让我们在不知不觉中受到美的熏陶，在潜移默化中培养高尚的情操。纵观数学的历史发展过程，不可忽略其文化价值，数学教育应纳入更广泛的文化领域中去审视，也就是要把传统的数学教育提高到数学文化教育的层次。数学文化教育的最终目的是提高数学素养，为学生的终身可持续发展奠定良好的基础。        

在立足课程内容的基础上，厚植爱国主义情怀，助力树立正确人生观、世界观、价值观，引导学生正确做人做学问，继而实现思政寓课程、课程融思政，充分发挥教师角色在思想政治教育中的作用。然而要在《高等数学》课堂教学中贯穿课程思政，是一项长期而艰巨的任务，还有许多方法需要我们去挖掘与探索，从而更好的将课程思政落实到《高等数学》教学当中。当下，“课程思政”教学改革正如火如荼地进行，如果我们将高等数学课程比作一碗优质的底汤，思政教育传递的正确价值观则比作盐，那么该如何使盐融入汤，烧出更美味的营养汤，是亟需我们解决的问题。        

本人认为可以从以下几方面着手：        

1、教师正确认识“课程思政”是前提。要把思政教育融入高等数学课程中，首先教师要正确认识“课程思政”，扭转传统的教学理念。课程思政”以现有课程本身为主，寓思政元素于课程本身，课程承载思政。思政元素不能喧宾夺主，生拉硬凑，为了思政而思政，而是要秉持“知识传授与价值引领相结合”的课程目标，实现立德树人润物无声。        

2、教师积极参与“课程思政”是关键。教师在“课程思政”的教育过程中起主导作用。“课程思政”教学过程中的教师，必须挖掘蕴含在本门课程中的思想政治教育资源，将学科资源、学术资源转化为育人资源，以便传播正确的的世界观、人生观、价值观，实现知识传授与价值引领有机结合。        

3、丰富课程知识体系是核心。可以通过（1）用生活解读高等数学，开展思政教育；（2）将数学史融入高等数学，开展思政教育；（3）通过数学史增强学生时代使命感与社会责任感，开展思政教育；（4）运用与数学相关的哲学悖论，开展思政教育；（5）通过数学在生活实践中的应用，开展思政教育；（6）通过揭示数学美，陶冶情感，开展思政教育。        

课程名称        

高等数学        

本次课程目标：极限存在准则（单调有界数列必有极限）及重要极限        

思政育人目标：欧拉在28岁时一只眼睛失明，面对这样的逆境，他坚毅的精神得完        

美体现，才有得后面巨大的贡献。但有的学生在看完天才欧拉的伟大贡献后，仅仅“举头望欧拉”，并没有“低头思自我”。并且有学生会说“老师他们都是外国人”。在高等数学中，可以寻找到许多外国数学家的名字，如牛顿、莱布尼兹、包括前面介绍的欧拉，在这样的情况下如何讲好中国故事呢？ 面对这些问题，我认为，数学教会我们的是，相信“证明”了的东西，不相信“直观”或“权威”，每一种“打破”都会“创新”，这种“批判精神”“辩证的精神”，无论国内外的数学家，他们的研究中都得以体现，在我们广大学生们实际生活中也有体现。例如面对的“横看成岭侧成峰”的迷茫，只需亲自实践证明一下，就会拨开云雾；与其慨叹“行路难，多歧路”，不如坚定的走下去，寻找“直挂云帆济沧海”的成功。        

（500字以上，图文并茂）        

一、 实施过程        

这些问题的解决，原有的研究常量、静止的数学的工具与方法已经无能为力了，只有当变量引进数学，能描述运动过程的新数学工具—微积分创立后，上面的问题才得以解决。        

以高等数学第一章第6节极限存在准则与重要极限为例，融入思政元素，总结如图：        

而这些问题的解决，原有的研究常量、静止的数学的工具与方法已经无能为力了，只有当变量引进数学，能描述运动过程的新数学工具—微积分创立后，上面的问题才得以解决。        

以高等数学第一章第6节极限存在准则与重要极限为例，融入思政元素，总结如图：        

问题导入部分引入一法一人，即数学归纳法（如图4）及瑞士数学先驱欧拉（如图5）。数学归纳法是通过有限的步骤解决无限问题，给“有限”与“无限”间搭建桥梁。        

讲解极限存在准则（单调有界数列必有极限）及重要极限。        

面对下图的极限，学生们通常很难入手，不妨从静态问题入手，请同学拿出手机计算器，参与互动，计算图7，从静态的每一次计算入手，总结归纳近似值的动态规律。通过近似值结果找规律如图8.        

不难发现上图极限的结果接近一个常数，这个常数就是欧拉数e=2.71827...        

(2)类比思维、函数思想        

函数思想的核心包括：分析问题建立函数关系、运用函数的性质与运算来得出问题的数学解，对问题的数学解进行实际问题的阐述，并进一步改进。运用函数的方法解决问题需要巧妙的运用函数的性质与运算，包括连续性。由离散的点类比到一个连续的过程，是函数思想的体现。        

二、取得成效        

学生形成 “爱数学，学数学，做数学” 的良好风气。        

学生对相关数学史有了深入了解，形成科学的历史观，激发强烈的民族自豪感，增强祖国科技振兴的信心。思政引导形象具体，学生对专业知识有了透彻的认识，印象十分深刻，极大促进专业知识的学习。        

三、教学反思        

课程名称        

高等数学        

本次课程目标：学习定积分的概念，定积分的性质。理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道定积分的中值定理.定积分是有限乘法的推广发展，借助微元的思想，通过分割求和，取极限。        

思政育人目标：讲述微积分发展历史，激发学生的学习兴趣，培养学生的辩证思考能力。        

（500字以上，图文并茂）        

一、实施过程